Đáp án:
$|z_1| = 2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $z_1 = a + bi\ \ (a;b\in\Bbb R)$
$\Rightarrow z_2 = \overline{z_1} = a - bi$
Ta có:
$+)\quad |z_1 - z_2| = 2\sqrt3$
$\Leftrightarrow |2bi| = 2\sqrt3$
$\Leftrightarrow |b| = \sqrt3$
$\Leftrightarrow b^2 = 3$
$\Rightarrow b = \pm \sqrt3$
$+)\quad \dfrac{z_1}{z_2^2}$
$= \dfrac{a+bi}{(a-bi)^2}$
$= \dfrac{a+bi}{a^2 - b^2 - 2abi}$
$= \dfrac{a^3 - 3ab^2 + (a^2b - b^3 + 2a^2b)i}{(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}$
$\dfrac{z_1}{z_2^2} \in \Bbb R \Leftrightarrow a^2b - b^3 + 2a^2b = 0$
Với $b = \sqrt3 \Rightarrow a^2\sqrt3 - 3\sqrt3 + 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$
Với $b = -\sqrt3 \Rightarrow - a^2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$
Khi đó:
$|z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
