`1 )` Gọi `ƯCLN( n + 6 ; n + 7 ) = d ( d ∈ Z ; d \ne 0 )`
Ta có `: n + 6 vdots d`
`n + 7 vdots d`
`⇒ ( n + 7 ) - ( n + 6 ) vdots d`
`⇔ 1 vdots d`
`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`
Mà `d` phải lớn nhất
`⇒ d = 1`
Vì `d = 1` nên `n + 6` và `n + 7` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`
`2 + 3 )` Gọi `ƯCLN( 2n + 5 ; 3n + 7 ) = d ( d ∈ Z , d \ne 0 )`
Ta có : 2n + 5 vdots d`
`3n + 7 vdots d`
`⇔ 3 . ( 2n + 5 ) vdots d`
`2 . ( 3n + 7 ) vdots d`
`⇔ 6n + 15 vdots d`
`6n + 14 vdots d`
`⇔ ( 6n + 15 ) - ( 6n + 14 ) vdots d`
`⇔ 1 vdots d`
`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`
Mà `d` phải lớn nhất
`⇒ d = 1`
Vì `d = 1` nên `( 2n + 5 )` và `( 3n + 7 )` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`
`4 )` Gọi `ƯCLN( 5n + 12 ; 3n + 7 ) = d ( d ∈ Z ; d \ne 0 )`
Ta có `: 5n + 12 vdots d`
`3n + 7 vdots d`
`⇔ 3 . ( 5n + 12 ) vdots d`
`5 . ( 3n + 7 ) vdots d`
`⇔ 15n + 36 vdots d`
`15n + 35 vdots d`
`⇔ ( 15n + 36 ) - ( 15n + 35 ) vdots d`
`⇔ 1 vdots d`
`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`
Mà `d` phải lớn nhất
`⇒ d = 1`
Vì `d = 1` nên `5n + 12` và `3n + 7` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`
