$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{2006}$
$= (1 + 5 + 5^{2}) + (5^{3} + 5^{4} + 5^{5}) + ... + (5^{2004} + 5^{2005} + 5^{2006})$
$= (1 + 5 + 5^{2}) + 5^{3}.(1 + 5 + 5^{2}) + ... + 5^{2004}.(1 + 5 + 5^{2})$
$= (1 + 5 + 5^{2}).(1 + 5^{3} + ... + 5^{2004})$
$= 31.(1 + 5^{3} + ... + 5^{2004})$ chia hết cho $31$