Đáp án+Giải thích các bước giải:
Có 2+2²+...+$2^{60}$
= (2+2²)+...+($2^{59}$+$2^{60}$)
= 2(1+2)+...+$2^{59}$(1+2)
= 2.3+...+$2^{59}$.3
= 3(2+...+$2^{59}$) ⇒ Tích trên chia hết cho 3 (1)
Lại có 2+2²+2³...+$2^{60}$
= (2+2²+2³)+...+($2^{58}$+$2^{59}$+$2^{60}$)
= 2(1+2+2²)+...+ $2^{58}$(1+2+2²)
= 2.7+...+$2^{58}$.7
= 7(2+...+$2^{58}$) ⇒ Tích trên chia hết cho 7 (2)
Ta thấy 2+2²+2³+$2^{4}$+...+$2^{60}$
= (2+2²+2³+$2^{4}$)+...+($2^{57}$+$2^{58}$+$2^{59}$+$2^{60}$)
= 2.15+...+$2^{57}$.15
= (2+...$2^{57}$).15 ⇒ Tích trên chia hết cho 15 (3)
Từ (1),(2) và (3) ta thấy (7,3,15)=1
⇒ Tích trên chia hết cho 7.3.15 ⇒ Tích trên chia hết cho 105 ⇒ ĐPCM
