Ta có:
(a² + b² + c²).(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² (Bất đẳng thức Bunhacopski)
⇒ (a² + b² + c²).(x² + y² + z²) - (ax + by + cz)² ≥ 0
⇒ a²y² + b²x² + b²z² + c²y² + c²z² + a²z² - 2abxy - 2bcyz - 2cazx ≥ 0
⇒ (a²y² - 2abxy + b²x²) + (b²z² - 2bcyz + c²y²) + (c²z² - 2cazx + a²z²) ≥ 0
⇒ (ay - bx)² + (bz - cy)² + (cz - az)² ≥ 0
Dấu '=' xảy ra khi ay = bx, bz = cy, cz = az
Hay $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$
⇒ (x + y + z)² = ($\frac{x}{√a}$.√a + $\frac{y}{√b}$.√b + $\frac{z}{√c}$.√c)²
⇒ (x + y + z)² ≤ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$).(a + b + c)
⇒ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$) ≥ $\frac{(x + y + z)²}{a + b + c}$ đpcm
Học tốt nha bạn :))
⇔(a²y²−2abxy+b²x²)+(b²z²−3bcyz+c²y²)+(c²z²−2cazx+a²z²)≥0⇔(a²y²-2abxy+b²x²)+(b²z²-3bcyz+c²y²)+(c²z²-2cazx+a²z²)≥0
