Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
A = {10^{2012}} + {10^{2011}} + {10^{2010}} + {10^{2009}} + 8\\
= {10^{2009}}\left( {{{10}^3} + {{10}^2} + 10 + 1} \right) + 8\\
= {10^{2009}}.1111 + 8
\end{array}$
+) Lại có:
$\begin{array}{l}
{10^{2009}} = {\left( {2.5} \right)^{2009}} = {2^{2009}}{.5^{2009}} \vdots {2^3}\\
\Rightarrow {10^{2009}} \vdots 8\\
\Rightarrow \left( {{{10}^{2009}}.1111 + 8} \right) \vdots 8\\
\Rightarrow A \vdots 8 (1)
\end{array}$
+) Mặt khác:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
10 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {10^{2009}} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\
1111 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {10^{2009}}.1111 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\
\Rightarrow {10^{2009}}.1111 + 8 \equiv 1 + 8\left( {\bmod 3} \right)\\
\Rightarrow {10^{2009}}.1111 + 8 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\\
\Rightarrow \left( {{{10}^{2009}}.1111 + 8} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow A \vdots 3\left( 2 \right)
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow A \vdots 24\left( {Do:\left( {8,3} \right) = 1} \right)$
Ta có điều phải chứng minh.
