Dễ chứng minh được bất đẳng thức phụ sau :
$a^2 + b^2 + c^2 $$\geq$ $ab+bc+ac$
<=> $2(a^2 + b^2 + c^2)$ $\geq$ $2(ab+bc+ac)$
<=> $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 $ $\geq$ $0$
Đặt $a^2 = x ; b^2 = y ; c^2 = z $ ta cũng có
$ x^2 + y^2 + z^2 $ $\geq$ $xy+yz+xz$
<=> $ a^4 + b^4 + c^4 $ $\geq$ $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$
Lại áp dụng BĐT phụ trên một lần nữa, ta có
$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$ = $(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 $ $\geq$ $ a^2bc + ab^2c + abc^2 = abc(a+b+c)$
Vậy ta có ĐPCM
