Ta có
$A = \dfrac{1}{630} x ( x^8 - 30x^6 + 273x^4 - 820x^2 + 576)$
Xét đa thức $P = x^8 - 30x^6 + 273x^4 - 820x^2 + 576$
Phân tích đa thức $P$ thành nhân tử ta có
$P = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)$
Khi đó, ta có
$A = \dfrac{1}{630}(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$
Đặt $C = (x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$.
Ta thấy rằng tích của các đơn thức sau là tích của 9 số tự nhiên liên tiếp. Vậy để $A$ là số nguyên với mọi $x$ nguyên thì tích $C$ phải chia hết cho 630.
Để chia hết cho 630 thì phải chia hết cho 2, 9, 5, 7.
Ta có
$630 = 2.9.5.7$
Do trong 9 số có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên tích trên chia hết cho 630.
Vậy A nhận giá trị nguyên với mọi $x$ nguyên.
