E nghĩ được câu b) thôi ạ, câu a em đang mắc :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^3}{a} ≥ 2a^2$
$\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^3}{b} ≥2b^2$
$\dfrac{c^5}{a^3}+\dfrac{a^3}{c}≥2c^2$
Do đó :
$\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3} + \dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b} ≥2.(a^2+b^2+c^2) $ (1)
Ta cần đi chứng minh : $ \dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b} ≥ a^2+b^2+c^2$
Thật vậy, áp dụng BĐT Svacso ta được :
$ \dfrac{b^4}{ab}+\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{c^4}{cb} ≥ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} $
Mặt khác : $a^2+b^2+c^2 ≥ab+bc+ca$
$⇒ \dfrac{b^4}{ab}+\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{c^4}{cb} ≥ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} ≥ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2} = a^2+b^2+c^2$
Hay : $\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b} ≥ a^2+b^2+c^2$ (2)
Từ (1) và (2) $⇒ \dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3} ≥a^2+b^2+c^2$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$
Vậy BĐT được chứng minh !!
