chứng minh schwarz
ta có $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$
$\frac{a²y+b²x}{xy}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$
(a²y+b²x)(x+y)≥(a+b)².xy
a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥(a²+2ab+b²)xy
a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥a²xy +2abxy +b²xy
(bx)²+(ay)²≥2(bx)(ay)
(bx)²-2(bx)(ay)+(ay)²≥0
(bx-ay)²≥0
vậy $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$(*)
Ta chứng minh bài toán tổng quát
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{an²}{xn}$≥$\frac{(a1+a2+...+an)²}{x1+x2+....+xn}$
giả sử bài toán đúng với n=k
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$
ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1
ta phải chứng minh
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak+1)²}{x1+x2+....+xk+1}$
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$ (gt)
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+.....+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+...+ak)²}{x1+x2+....+xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$
≥$\frac{(a1+a2+...+ak+1)²}{x1+x2+....+xk+1}$(dpcm)
