Đáp án + giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử `a>=b>=c`
Ta sẽ chứng minh `a^3/b+b^3/c+c^3/a>=a^2+b^2+c^2 (1)`
`->a^3/b-a^2+b^3/c-b^2+c^3/a-c^2>=0`
`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)+c^2((c-a)/a)>=0`
`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)+c^2((c-b+b-a)/a)>=0`
`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)-c^2((b-c)/a)-c^2((a-b)/a)>=0`
`->(a-b)(a^2/b-c^2/a)+(b-c)(b^2/c-c^2/a)>=0`
`->(a-b)((a^3-c^2b)/(ab))+(b-c)((b^2a-c^3)/(ac))>=0 (2)`
Vì `a>=b>=c>0`
$\to \begin{cases} a-b\ge0 \\ a^3-bc^2\ge0 \\ ab>0\\ b-c\ge0 \\ ab^2-c^2\ge0 \\ ac>0 \end{cases}$
`->(2)` đúng
`->(1)` đúng
Ta sẽ chứng minh `a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca (3)`
`->2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca`
`->a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`
`->(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` (luôn đúng)
`->(3)` đúng
`->a^3/b+b^3/c+c^3/a>=ab+bc+ca`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`
