` Dh1: ` Tứ giác có 4 cạnh = nhau là hình thoi.
C/m:
Ta có:
` AB = BC = DC = AD `
` => ABCD ` là hình thoi.
` Dh2: ` Hình bình hành có hai cạnh kề = nhau là hình thoi.
C/m:
Xét hình bình hành ` ABCD ` có:
` AB = DC ` (1)
` AD = BC ` (2)
Theo đề bài, ta có: ` AB = AD ` (3)
Từ `(1),(2)` và `(3)` ` => AB = AD = DC = BC `
` => ABCD ` là hình thoi `(dh1)`
` Dh3: ` Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
C/m:
Xét ` ΔABO ` và ` ΔBOC ` có:
` AO = CO `
` \hat{AOB} = \hat{BOC} (=90°) `
` OB ` là cạnh chung
` => ΔABO = ΔBOC ` `(c.g.c)` (1)
Xét ` ΔBOC ` và ` ΔCOD ` có:
` OB = OD `
` \hat{BOC} = \hat{DOC} (=90°) `
` OC ` là cạnh chung
` => ΔBOC = ΔCOD ` `(c.g.c)` (2)
Xét ` ΔCOD ` và ` ΔAOD ` có:
` OA = OC `
` \hat{AOD} = \hat{COD} (=90°) `
` OD ` là cạnh chung
` => ΔAOD = ΔCOD ` `(c.g.c)` (3)
Từ `(1),(2)` và `(3)` `=> ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔAOD `
` => AD = BC = AB = DC ` (4 cạnh thương ứng)
` => ABCD ` là hình thoi `(dh1)`
` Dh4: ` Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc là hình thoi.
C/m:
Xét ` ΔABD ` có:
` \hat{A_1} = \hat{A_2} `
` DO = OB <=> AO ` là trung tuyến của ` DB `
` => AC ⊥ BD `
Xét ` ΔABO ` và ` ΔBOC ` có:
` AO = CO `
` \hat{AOB} = \hat{BOC} (=90°) `
` OB ` là cạnh chung
` => ΔABO = ΔBOC ` `(c.g.c)` (1)
Xét ` ΔBOC ` và ` ΔCOD ` có:
` OB = OD `
` \hat{BOC} = \hat{DOC} (=90°) `
` OC ` là cạnh chung
` => ΔBOC = ΔCOD ` `(c.g.c)` (2)
Xét ` ΔCOD ` và ` ΔAOD ` có:
` OA = OC `
` \hat{AOD} = \hat{COD} (=90°) `
` OD ` là cạnh chung
` => ΔAOD = ΔCOD ` `(c.g.c)` (3)
Từ `(1),(2)` và `(3)` `=> ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔAOD `
` => AD = BC = AB = DC ` (4 cạnh thương ứng)
` => ABCD ` là hình thoi `(dh1)`
