Lời giải.
Đặt $\begin{cases}a=x^2+y^2(a≥0)\\ b=y^2+z^2(y≥0)\\c=x^2-z^2\ \end{cases}$
`=>a-b-c=x^2+y^2-y^2-z^2-x^2+z^2=0`
Giả sử ta có điều phải chứng minh là:
`(x^2+y^2)^3-(y^2+z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2+z^2)`
`<=>(x^2+y^2)^3-(y^2+z^2)^3-(x^2-z^2)^3=3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2+z^2)`
`<=>a^3-b^3-c^3=3abc`
`<=>(a^3-3a^2b+3ab^2-c^3)-c^3=3abc-3a^2b+3ab^2`
`<=>(a-b)^3-c^3=-3ab(a-b-c)`
`<=>[(a-b)-c)][(a-b)^2+(a-b).c+c^2]+3ab(a-b-c)=0`
`<=>(a-b-c)(a^2-2ab+b^2+ac-bc+c^2+3ab)=0`
`<=>(a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc)=0` `(1)`
Với `a-b-c=0` thì biểu thức `(1)` luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
