Ta có: $(x - y) ≥ 0$
$⇔ x² - 2xy + y² ≥ 0$
$⇔ x² + 2xy + y² - 4xy ≥ 0$
$⇔x(x + y) + y(x + y) ≥ 4xy$ (*)
Vì $x,y > 0$ nên: x.y(x + y) > 0$
$⇒ \frac{1}{xy(x + y)} > 0$
Nhân vào (*), ta được:
$ \frac{x(x + y) + y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4xy}{xy(x + y)}$
$⇔ \frac{x(x + y)}{xy(x + y)} + \frac{ y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4}{x + y}$
$⇔ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} ≥ \frac{4}{x + y}$ (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y$
