Ta có: $n^{5}-n$
$=n(n^{4}-1)$
$=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)$
$=(n-1)n(n+1)(n^{2}-4+5)$
$=(n-1)n(n+1)(n^{2}-4)+5(n-1)n(n+1)$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)$
Ta có: $(n-2);(n-1);n;(n+1);(n+2)$ là $5$ số tự nhiên liên tiếp
$⇒(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\vdots2.3.5$
hay $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\vdots30$
Vì $(n-1);n;(n+1)$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp
$⇒(n-1)n(n+1)\vdots2.3$
hay $(n-1)n(n+1)\vdots6$
$⇒5(n-1)n(n+1)\vdots30$
Do đó: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)\vdots30$
hay $n^{5}-n\vdots30$
