Vì `n(n + 1)` là `2` số tự nhiên liên tiếp `(n in mathbb N)`
`=> n(n + 1) vdots 2 forall n in mathbb N`
`=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 2 forall n in mathbb N`
Vì `n in mathbb N` nên `n` có `3` dạng: `3k, 3k + 1, 3k + 2`
`+)` Với `n = 3k => n vdots 3 => n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`
Vậy với `n = 3k` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(1)`
`+)` Với `n = 3k + 1`
`=> 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 vdots 3`
`=> 2n + 1 vdots 3`
`=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(2)`
Vậy với `n = 3k + 1` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(2)`
`+)` Nếu `n = 3k + 2`
`=> n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 vdots 3`
`=> n + 1 vdots 3`
`=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`
Vậy với `n = 3k + 2` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(3)`
Từ `(1), (2)` và `(3) =>` Với mọi `n` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`
Vì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 2` và `3` mà `2; 3` là `2` số nguyên tố cùng nhau
`=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 6`
`=> đpcm`
