Ta nhận thấy không có 2 số chính phương liên tiếp nào cách nhau 2 đơn vị
Vậy ta sẽ chứng minh p+1 là số chính phương
Giả sử p+1 là số chính phương
Ta thấy tích của n số nguyên tố đầu tiên là số chẵn
⇒ p chẵn
⇒ p+1 lẽ
Đặt p+1= m²
⇒ m lẻ
Đặt m= 2k+1
⇒ p+1= ( 2k+1)²= 4k²+4k+1
⇒ p= 4k²+4k⋮ 4
Mà p chỉ chia hết cho 2 ⇒ Trái với giải thuyết
⇒ p+1 không là só nguyên tố
Ta thấy: p= 2.3.4....
⇒ p⋮ 3
⇒ p-1 chia 3 dư 2
mà số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 ⇒ Vô lí
⇒ p-1 không là số chính phương
Vậy ta có đpcm