Để chứng minh \(\dfrac{14n+3}{21n+4}\) là phân số tối giản ta sẽ chứng minh \(UCLN (14n+3 ; 21n+4) = \pm 1.\)
Giả sử \(d = UCLN (14n+3 ; 21n+4) = 1.\)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14n + 3\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
21n + 4\,\,\, \vdots \,\,\,d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.\left( {14n + 3} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
2.\left( {21n + 4} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,d
\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
42n + 9\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
42n + 8\,\,\, \vdots \,\,\,d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right)\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
\Rightarrow 42n + 9 - 42n - 8\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
\Rightarrow 9\,\,\, \vdots \,\,\,d\\
\Rightarrow d = \pm 1
\end{array}$
Vậy \(\dfrac{14n+3}{21n+4}\) là phân số tối giản.
