Ta có
$f(0) = d$
$f(1) = a + b + c + d$
$f(2) = 8a + 4b + 2c + d$
Do $f(0)$ nguyên nên $d$ nguyên
Do f(1) nguyên và $d$ nguyên nên $a + b + c = f(1) - d$ là nguyên.
Khi đó, ta xét
$f(2) - 2f(1) + f(0) = 8a + 4b + 2c + d - 2a - 2b - 2c - 2d + d$
$= 6a + 2b$
Do $f(2), f(1)$ và $f(0)$ nguyên nên $f(2) - 2f(1) + f(0)$ nguyên, do đó $6a + 2b$ nguyên
Mặt khác, ta có
$f(-1) = -a + b - c + d$
là nguyên, nên
$f(1) + f(-1) = a + b + c + d + (-a + b - c + d)$
$= 2b + 2d$
cũng nguyên. Do d nguyên nên bắt buộc $2b$ là nguyên.
Mặt khác, lại có 6a + 2b là nguyên nên 6a phải nguyên.
