bn thùy ninh đã giải rồi nhưng để mk giải chi tiết cho mọi người hiểu rỏ hơn
khúc đầu giải như bn thùy ninh
ta có \(x>y\Leftrightarrow x-y>0\) vậy nên ta không cần tìm điều kiện
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
ta có ( \(xy=1\) nên ta có : \(\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy=0\) )
\(\Rightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy+2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\) (đúng với mọi \(x;y\) )
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-y-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x-y=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(-y\right)=\sqrt{2}\)
ta lại có \(xy=1\Leftrightarrow x.\left(-y\right)=-1\)
\(\Rightarrow\) \(x\) và \(\left(-y\right)\) là nghiệm của phương trình \(X^2-\sqrt{2}X-1=0\)
\(\Delta=\left(-\sqrt{2}\right)^2-4.1.\left(-1\right)=2+4=6>0\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(X_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) ; \(X_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)
vậy ta có : \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
vậy ==========--.
