Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta chứng minh \left|a\right|-\left|b\right|< \left|a+b\right|∣a∣−∣b∣<∣a+b∣
Nếu b>a\ge0b>a≥0 hoặc b< a< 0b<a<0 thì ta có đpcm.
Nếu a>b\ge0a>b≥0 hoặc a< b< 0a<b<0 thì vế trái dương, ta xét
\left(\left|a+b\right|\right)^2-\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(a^2-2\left|a\right|.\left|b\right|+b^2\right)=2ab+2\left|a\right|.\left|b\right|>0(∣a+b∣)2−(∣a∣−∣b∣)2=(a2+2ab+b2)−(a2−2∣a∣.∣b∣+b2)=2ab+2∣a∣.∣b∣>0
Suy ra \left(\left|a+b\right|\right)^2>\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)^2(∣a+b∣)2>(∣a∣−∣b∣)2 hay $\left|a\right|-\left|b\right|<
\left|a+b\right|$
Ta chứng minh \left|a+b\right|< \left|a\right|+\left|b\right|∣a+b∣<∣a∣+∣b∣
Vì vế phải không âm nên ta bình phương được \left(a+b\right)^2< \left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\Leftrightarrow2ab< 2\left|a\right|.\left|b\right|(a+b)2<(∣a∣+∣b∣)2⇔2ab<2∣a∣.∣b∣ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
