Ta có
$A = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$
$= n^3 + (n+2)^3 + (n+1)^3$
$= (n+n+2)[n^2 - n(n+2) + (n+2)^2] + (n+1)^3$
$= 2(n+1)(n^2 +2n + 4) + (n+1)^3$
$= (n+1)[2(n^2 + 2n + 4) + (n+1)^2]$
$= (n+1)(3n^2 + 6n + 9)$
$= 3(n+1)(n^2 + 2n + 3)$
Vậy để cminh $A$ chia hết cho 9 thì ta chỉ cần cminh $(n+1)(n^2 + 2n + 3)$ chia hết cho 3.
TH1: $n =3k$ ($n$ chia hết cho 3)
Khi đó, ta có
$(n+1)(n^2 + 2n + 3) = (3k+1)(9k^2 + 2.3k + 3)$
$= (3k+1)(9k^2 + 6k + 3)$
$= 3(3k+1)(3k^2 + 2k + 1)$
Vậy $(n+1)(n^2 + 2n + 3)$ chia hết cho 3
TH2: $n = 3k + 1$ ($n$ chia 3 dư 1)
Khi đó, ta có
$(n+1)(n^2 + 2n + 3) = (3k + 2)[(3k+1)^2 + 2(3k+1)+3]$
$= (3k+2)(9k^2 + 12k +6)$
$= 3(3k+2)(3k^2 + 4k + 2)$
Vậy $(n+1)(n^2 + 2n + 3)$ cx chia hết cho 3.
TH3: $n = 3k + 2$ ($n$ chia 3 dư 2)
Khi đó, ta có
$(n+1)(n^2 + 2n + 3) = (3k + 3)[(3k+2)^2 + 2(3k+2) + 3]$
$= 3(k+1)[(3k+2)^2 + 2(3k+2) + 3]$
Vậy $(n+1)(n^2 + 2n + 3) $ chia hết cho 3.
Suy ra $(n+1)(n^2 + 2n + 3) $ chia hết cho 3 với mọi $n$. Vậy
$3(n+1)(n^2 + 2n + 3) = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$
chia hết cho 9.
