Đáp án:
A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6
Giải thích các bước giải:
Để A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6
⇔ A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 2 và A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 3
TH1: A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 2
\(\begin{array}{l}
Xét:n = 2k \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = 2k\left( {10k + 1} \right)\left( {2k + 7} \right) \vdots 2\\
Xét:n = 2k + 1 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {2k + 1} \right)\left( {5\left( {2k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2k + 1 + 7} \right)\\
= \left( {2k + 1} \right)\left( {10k + 6} \right)\left( {2k + 8} \right)\\
= 2\left( {2k + 1} \right)\left( {10k + 6} \right)\left( {k + 4} \right) \vdots 2\\
Xét:n = 2k + 2 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {2k + 2} \right)\left( {5\left( {2k + 2} \right) + 1} \right)\left( {2k + 2 + 7} \right)\\
= 2\left( {k + 1} \right)\left( {10k + 11} \right)\left( {2k + 9} \right) \vdots 2\\
\to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) \vdots 2\forall n
\end{array}\)
TH2: A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 3
\(\begin{array}{l}
Xét:n = 3k \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = 3k\left( {15k + 1} \right)\left( {3k + 7} \right) \vdots 3\\
Xét:n = 3k + 1 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {3k + 1} \right)\left( {5\left( {3k + 1} \right) + 1} \right)\left( {3k + 1 + 7} \right)\\
= \left( {3k + 1} \right)\left( {15k + 6} \right)\left( {3k + 8} \right)\\
= 3\left( {3k + 1} \right)\left( {5k + 2} \right)\left( {3k + 8} \right) \vdots 3\\
Xét:n = 3k + 2 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {3k + 2} \right)\left( {5\left( {3k + 2} \right) + 1} \right)\left( {3k + 2 + 7} \right)\\
= 3\left( {k + 3} \right)\left( {3k + 3} \right)\left( {15k + 11} \right) \vdots 3\\
\to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) \vdots 3\forall n
\end{array}\)
⇒ A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6
