a) Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6 lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D.
Ta có: O1 là trung điểm của BD, O3 là trung điểm của A’B’ nên:
Tương tự: O1O4 = O1O5 = O1O6 = O3O4 = O4O5 = O5O6 = O1O6 = O3O4 = O4O5 = O5O6 = O6O3 = O2O3 = O2O4 = O2O5 = O2O6 = (a√2)/2
Do đó, các tam giác O1O3O6; O1O6O5; O1O5O4; O1O3O4; O2O3O6; O2O6O5; O2O5O4; O2O3O4 là các tam giác đều cạnh
Chúng làm thành khối tám mặt đều (đpcm).
b) Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Ta có: O1,O2 là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:
=> O1 O2 // MN
=> O1 O2 // O3 O4 và O1 O2 = O3 O4
=> Tứ giác O1 O2 O3 O4 là hình bình hành.
Lại có: O1 O4 // BD, O1 O4=BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.
AC = DB, AC ⊥ BD => O1 O2=O1 O4, O1 O2 ⊥ O1 O4 nên tứ giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông.
- Hoàn toàn tương ứng ta có: O1 O2 O6 O5,O2 O3 O7 O6,O3 O4,O8 O7,O4 O1 O5 O8,O5 O6 O7 O8 là các hình vuông.
Vậy O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 là các đỉnh của một khối lập phương.
