Gọi $DI$ là phân giác góc $\widehat D$
$CJ$ là phân giác góc $\widehat C$
$AN$ là phân giác góc $\widehat A$
$BM$ là phân giác góc $\widehat B$
Các đường phân giác cắt nhau tạo thành tứ giác $EFGH$ như hình vẽ
Ta có $\widehat {I_1}=\widehat{D_2}$ (so le trong)
$\widehat{D_2}=\widehat{D_1}$ (do $DI$ là phân giác góc $\widehat D$)
$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{D_1}$
$\Rightarrow \Delta ADI$ cân đỉnh $A$
$AN$ là phân giác nên cũng là đường cao
$\Rightarrow AN\bot DI$$\Rightarrow \widehat{IEN}=90^o$
Hay $\widehat{FEH}=90^o$
Chứng mình tương tự tam giác cân $JBC$, $BCN$ và $ADN$
$\Rightarrow \widehat{FEH}=\widehat{FGH}=\widehat{GHF}=\widehat{HEF}=90^o$
$\Rightarrow EFGH$ là hình chữ nhật.
Gọi $Q=EG\cap FH$
$\Rightarrow Q$ là trung điểm cạnh $EG$
Xét $\Delta QEI$ và $\Delta QGM$
$\widehat{QEI}=\widehat{QGM}$ (so le trong)
$QE=QG$
$\widehat{EQI}=\widehat{GQM}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow\Delta QEI=\Delta QGM$ (g.c.g)
$\Rightarrow QI=QM$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow Q$ là trung điểm cạnh $IM$
$E$ là trung điểm cạnh $ID$
$\Rightarrow EQ$ là đường trung bình $\Delta IDM$
$\Rightarrow EQ\parallel DM$
$\Rightarrow EG\parallel DC$
Chứn gminh tương tự $FH\parallel AD$.
