Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Tập xác định $: D = (- ∞; 2)∪(2;+∞)$
- Xét $x_{1} < x_{2} < 2 (1)$
$ ⇔ 3x_{2} > 3x_{1} ⇔ - 2x_{1} + x_{2} > - 2x_{2} + x_{1} $
$ ⇔ x_{1}x_{2}- 2x_{1} + x_{2} - 2 > x_{1}x_{2} - 2x_{2} + x_{1} - 2$
$ ⇔ (x_{1} + 1)(x_{2} - 2) > (x_{2} + 1)(x_{1} - 2) (*)$
Vì $(1)⇒ x_{1} - 2 < 0; x_{2} - 2 <0 ⇒ (x_{1} - 2)(x_{2} - 2) > 0$
Nên chia 2 vế của $(*)$ cho $(x_{1} - 2)(x_{2} - 2) > 0$
$ (*) ⇔ \dfrac{x_{1} + 1}{x_{1} - 2} > \dfrac{x_{2} + 1}{x_{2} - 2} ⇔ f(x_{1}) > f(x_{2}) (2) $
Từ $(1); (2) ⇒ f(x)$ nghịch biến trên $(- ∞; 2)$
Tương tự Xét $ 2< x_{1} < x_{2} (3)$
$ ⇔ 3x_{2} > 3x_{1} ⇔ - 2x_{1} + x_{2} > - 2x_{2} + x_{1} $
$ ⇔ x_{1}x_{2} - 2x_{1} + x_{2} - 2 > x_{1}x_{2} - 2x_{2} + x_{1} - 2$
$ ⇔ (x_{1} + 1)(x_{2} - 2) > (x_{2} + 1)(x_{1} - 2) (**)$
Vì $(2) ⇒ x_{1} - 2 > 0; x_{2} - 2 > 0 ⇒ (x_{1} - 2)(x_{2} - 2) > 0$
Nên chia 2 vế của $(**)$ cho $(x_{1} - 2)(x_{2} - 2) > 0$
$ (**) ⇔ \dfrac{x_{1} + 1}{x_{1} - 2} > \dfrac{x_{2} + 1}{x_{2} - 2} ⇔ f(x_{1}) > f(x_{2}) (4)$
Từ $(3); (4) ⇒ f(x)$ nghịch biến trên $(2 ; + ∞)$
Vậy $f(x)$ nghịch biến trong từng khoảng xác định
