Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Dễ thấy \(b\) chính là chữ số tận cùng của \({2^n}\)Giải chi tiết:Vì \({2^n} = 10a + b\)và \(0 < b < 10 \Rightarrow {2^n}\)có tận cùng bằng b
Nếu \(n = 4k\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow {2^n} = {\left( {{2^4}} \right)^k} = {16^k}\) có tận cùng là \(6 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow ab \vdots 6\)
Nếu \(n = 4k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow {2^n} = {16^k}.2\) có tận cùng là \(2 \Rightarrow b = 2\) \( \Rightarrow 10a = {16^k}.2 - 2 = 2\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \(\left( {{{16}^k} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,15 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,15\) \( \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow ab\,\, \vdots \,\,6\)
Nếu \(n = 4k + 2\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow {2^n} = {16^k}.4\) có tận cùng là \(4 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow 10a = {16^k}.4 - 4 = 4\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \(\left( {{{16}^k} - 1} \right)\,\, \vdots \,15 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,15\) \( \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow ab\,\, \vdots \,\,6\)
Nếu \(n = 4k + 3\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow {2^n} = {16^k}.8\) có tận cùng là \(8 \Rightarrow b = 8\) \( \Rightarrow 10a = {16^k}.8 - 8 = 8\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \(\left( {{{16}^k} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,15 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,15\) \( \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow ab\, \vdots \,6\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
