Ta có
$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{x^2}{ax} = \dfrac{y^2}{by} = \dfrac{z^2}{cz} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{ax + by + cz}$
Tương tự, ta có
$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{ax}{a^2} = \dfrac{by}{b^2} = \dfrac{cz}{c^2} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$
Theo tchat bắc cầu ta suy ra
$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{ax + by + cz} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$ (do đều bằng với $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$)
Suy ra
$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (ax + by + cz)^2$
