Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Biến đôi giả thiết \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\)\( \Leftrightarrow (2m + 2n + 1)(m - n) = {n^2}\).Giải chi tiết:Ta có: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) \( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {n^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right) = {n^2}\)
Xét \(n = 0 \Rightarrow m = 0\). Khi đó \(2m + 2n + 1 = 1 = {1^2}\) là số chính phương.
Xét \(n > 0\). Gọi \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right)\)\( = d;d \in N*\).
Khi đó: \({n^2} = \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right)\,\, \vdots \,\,{d^2}\)\( \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow m = \left( {m - n} \right) + n \vdots d\)\( \Rightarrow 2m + 2n\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1 = \left( {2m + 2n + 1} \right) - \left( {2m + 2n} \right)\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1\)
Vậy \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right) = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 2n + 1 = {a^2}\\m - n = {b^2}\end{array} \right.\)\(;\left( {a,b} \right) = 1;a,b \in N*;ab = n\)
Khi đó \(2m + 2n + 1 = {a^2}\)là số chính phương (điều phải chứng minh).