Giả sử: $a//b$ và $c$ cắt $a,b$ tại $A,B$
a) $a//b$
$⇒\widehat{aAB}=\widehat{ABC}$ (so le trong)
Kẻ $Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$, $By$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$
$⇒\widehat{xAB}=\dfrac{\widehat{aAB}}{2}$
$By$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$⇒\widehat{ABy}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$
mà $\widehat{aAB}=\widehat{ABC}$
$⇒\widehat{xAB}=\widehat{ABy}$
mà 2 góc ở vị trí so le trong
$⇒Ax//By$
b) $a//b$
$⇒\widehat{A_1}=\widehat{ABC}$ (đồng vị)
Kẻ $Az$ là phân giác $\widehat{A_1}$, $By$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$Az$ là phân giác $\widehat{A_1}$
$⇒\widehat{cAz}=\dfrac{\widehat{A_1}}{2}$
$By$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$⇒\widehat{ABy}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$
mà $\widehat{A_1}=\widehat{ABC}$
$⇒\widehat{cAz}=\widehat{ABy}$
mà 2 góc ở vị trí đồng vị
$⇒Az//By$
c) $a//b$
$⇒\widehat{aAB}+\widehat{bBA}=180^o$ (trong cùng phía bù nhau)
Kẻ $Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$, $Bh$ là phân giác $\widehat{bBA}$
$Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$
$⇒\widehat{aAB}=2.\widehat{xAB}$
$Bh$ là phân giác $\widehat{bBA}$
$⇒\widehat{bBA}=2.\widehat{hBA}$
Từ hai điều trên
$⇒\widehat{aAB}+\widehat{bBA}=2.\widehat{xAB}+2.\widehat{hBA}=180^o$
$⇒2.(\widehat{xAB}+\widehat{hBA})=180^o$
$⇒\widehat{xAB}+\widehat{hBA}=180^o:2=90^o$
Giả sử: $Ax$ cắt $Bh$ tại $D$
Xét $ΔDAB$:
$\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=90^o$
$⇒\widehat{ADB}=180^o-90^o=90^o$
$⇒AD⊥BD$ hay $Ax⊥Bh$
