Giải thích các bước giải:
Đầu tiên ta chứng minh một số chính phương a chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Thật vậy
Nếu \(a=(3k)^2=9k^2\) thì a chia 3 dư 0
Nếu \(a=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) thì a chia cho 3 dư 1
Nếu \(a=(3k+2)^2=9k^2+12k+4\) thì a chia cho 3 dư 1
Nên một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Trở lại bài toán ta có:
Vì \(n+1\), \(2n+1\) là các số chính phương nên đặt \(n+1=k^2\), \(2n+1=m^2\) với k, m là các số tự nhiên
Có \(2n+1\) lẻ nên \(m^2\) lẻ nên m lẻ viết \(m=2a+1\) với \(a \in N \)
Thì \(2n+1=(2a+1)^2=4a(a+1)+1\)
Nên \(n=2a(a+1)\) hay \(n\) chẵn do đó \(n+1\) lẻ
Đặt \(n+1=(2b+1)^2=4b(b+1)+1\)
\(n=4b(b+1)\)
Vì \(b(b+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(b(b+1)\) chia hết cho 2
Do vậy \(4b(b+1)\) chia hết cho 8 hay n chia hết cho 8 (1)
Ta có \(k^2+m^2=3n+2\) chia cho 3 dư 2
Mà \(k^2\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1, \(m^2\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để \(k^2+m^2\) chia 3 dư 2 thì \(k^2\) chia 3 dư 1 và \(m^2\) cũng chia 3 dư 1
Mặt khác \(n=k^2-1\) nên n chia hết cho 3 (2)
Từ (1), (2) và (3,8)=1 ta có n chia hết cho 24
