`p` và `p^2+2` là số nguyên tố.
+) Nếu $p=2$
`=>p^2+2=2^2+2=6` không là số nguyên tố
`=>` loại `p=2`
$\\$
+) Nếu `p=3`
`=>p^2+2=3^2+2=11` là số nguyên tố
`\qquad p^3+2=3^3+2=29` là số nguyên tố
`=>p=3` thỏa đề bài
$\\$
+) Nếu `p>3`
Vì `p` là số nguyên tố
`=>`$p\not\ \vdots\ 3$
`=>p=3k+1` hoặc `p=3k+2`
$\\$
++) Nếu `p=3k+1`
`=>p^2+2=(3k+1)^2+2`
`\qquad =(3k+1).(3k+1)+2`
`\qquad =(3k).(3k)+3k+3k+1+2`
`\qquad =9k^2+6k+3`
`\qquad =3(3k^2+2k+1)\ \vdots 3`
`=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)
`=>p\ne 3k+1`
$\\$
++) Nếu `p=3k+2`
`=>p^2+2=(3k+2)^2+2`
`\qquad =(3k+2).(3k+2)+2`
`\qquad =(3k).(3k)+3k.2+3k.2+2.2+2`
`\qquad =9k^2+12k+6`
`\qquad =3(3k^2+4k+2)\ \vdots 3`
`=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)
`=>p\ne 3k+2`
$\\$
`=>` Các số nguyên tố `p>3` không thỏa đề bài
Do đó số nguyên tố $p$ duy nhất thỏa đề bài là $3$, khi đó $p;p^2+2;p^3+2$ là các số nguyên tố $3;11;29$
Vậy $p$ và $p^2+2$ là số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố
