$\quad \dfrac{x}{xy + x + 1} + \dfrac{y}{yz + y + 1} + \dfrac{z}{zx + z+1}$
$=\dfrac{xyz}{xy^2z + xyz + yz} +\dfrac{y}{yz + y + 1} + \dfrac{yz}{xyz + yz + y}$
$=\dfrac{1}{y + 1 + yz} +\dfrac{y}{yz + y + 1} +\dfrac{yz}{1 + yz + y}$
$=\dfrac{yz + y +1}{yz + y + 1}$
$= 1$