Giả sử `sqrt(10)` là số hữu tỉ. Lúc đó `sqrt(10)` có thể viết được dưới dạng `m/n` ( `m,n` thuộc `N`) ; `(m;n)=1`
Ta có: `sqrt(10)` `=m/n`
`=> m =` `sqrt(10)` `n`
`=> m^2 = 10n^2` `(1)`
`=> 10n^2` chia hết cho `2` `=>``m^2` chia hết cho `2`
`=> m ` chia hết cho `2` `(3)`
Đặt `m=2k` (k thuộc N). Thay `m=2k` vào `(1)` ta được:
`(2k)^2 = 10n^2`
`=> 4k^2 =10n^2`
`=> 2k^2 = 5n^2`
Với mọi k thuộc N ta luôn có `2k^2` chia hết cho `2`
`=> 5n^2` chia hết cho `2`
Mà `5` không chia hết cho `2`
`=> n^2` chia hết cho `2` mà `2` là số nguyên tố `=> n` chia hết cho `2` `(3)`
Từ `(2)` và `(3)`
`=> m;n` cùng chia hết cho `2` nên trái với giả thiết `(m;n)=1`
`=>` $\sqrt[]{10}$ không là số hữu tỉ
Do đó $\sqrt[]{10}$ là số vô tỉ
Vậy $\sqrt[]{10}$ là số vô tỉ
