Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt: $A=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$
$⇔ A^3=3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}.(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})$
$⇔ A^3=6+3\sqrt[3]{9-8}.A$
$⇔ A^3=6+3A$
$⇔ A^3-3A-6=0$
Giả sử $A$ là số hữu tỉ
Đặt: $A=\dfrac{m}{n}$ với $(m; n)=1$ và $m, n ∈ N*$
Khi đó, `(\frac{m}{n})^3-3.\frac{m}{n}-6=0`
`⇔ m^3-3mn^2-6n^3=0`
$⇒ m^3 \vdots 3$
$⇒ m \vdots 3$
$⇒ m^3 \vdots 9$
và $3mn^2 \vdots 9$
Từ đó suy ra: $6n^3 \vdots 9$
$⇒ 2n^3 \vdots 3$
$⇒ n^3 \vdots 3$
$⇒ n \vdots 3$
Như vậy $m$ và $n$ đều chia hết cho $3$
(Điều này mâu thuẫn với $(m; n)=1$)
Vậy $A$ là số vô tỉ $(đpcm)$
