Xét 2004 số có dạng 2004, 20042005, 200420042004,....., 200420042004...2004 (2004 số 2004)
Khi chia 2004 số này cho 2003 thì số dư có thể là: 0,1,2,3,...,2002
Áp dụng nguyên lí Dirichlet ⇒ có ít nhất 2 số tự nhiên có cùng dư khi chia 2003
⇒ hiệu 2 số đó chia hết 2003
Gọi 2 số đó là 2004....20042004 (m số 2004) và 20042004...20042004 (n số 2004) ( 1 ≤ m < n ≤ 2004 )
Ta có: 2004....20042004 (n số 2004) - 20042004...20042004 (m số 2004) chia hết 2003
⇒ 2004.....200400...00 (m chữ số 0)
⇒ 2004...2004 (n - m số 2004) x 10^m chia hết 2003
mà (10^m, 2003) = 1
⇒ 2004...2004 (n - m số 2004) chia hết 2003
Vậy tồn tại 1 bội của 2003 có dạng 200420042004...2004
