Giả sử tam giác cần chứng minh là `ΔABC vuông tại A.
Ta kẻ trung tuyến `AM`.
Trên tia đối của tia `MA` lấy điểm D sao cho `MD = MA`.
xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :
`MB = MC` (Do `AM` là đường trung tuyến)
`∠M1 = ∠M2` (2 góc đối đỉnh bằng nhau)
`MA = MD` (Theo cách vẽ)
`⇒ ΔAMB = ΔDMC` `(c.g.c)`
`⇒ AB = DC` (2 cạnh tương ứng)
Và `∠BAM = ∠CDM` (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
`⇒ AB // CD` (1)
Vì `ΔABC` vuông tại A (gt)
`⇒ AB ⊥ AC` (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
`AC ⊥ CD`.
Xét `ΔABC` và `ΔCDA` có:
`AB = CD` (chứng minh trên)
`∠BAC = ∠ACD` (=90)
`AC` cạnh chung
`⇒ ΔABC = ΔCDA` `(c.g.c)`
`⇒ BC = DA` (2 cạnh tương ứng)
Vì: `AM = MD = $\frac{AD}{2}$` (theo cách vẽ)
`⇒` `AM = $\frac{BC}{2}$`
Vậy trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
