Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C}=\alpha \quad (\alpha< 45^o),$ đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$
$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MA = MB = MC =\dfrac12BC$
$\Rightarrow ∆MAC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{AMH}=2\widehat{C}$
$\Rightarrow \widehat{AMH}=2\alpha$
Ta có:
$2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\widehat{C}\cos\widehat{C}$
$= 2\cdot\dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{AC}{BC}$
$=\dfrac{2AB.AC}{BC^2}$
$=\dfrac{2BC.AH}{BC^2}$
$=\dfrac{2AH}{BC}$
$=\dfrac{2AH}{2AM}$
$=\dfrac{AH}{AM}$
$=\sin\widehat{AMH}$
$=\sin2\alpha$
