Đáp án+Giải thích các bước giải:
$2^k+3^k$
Với K lẻ thì k có dạng là $2n+1$
Khi đó $2^k+3^k$⇔$2^{2n+1}$ +$3^{2n+1}$ ⇔$4^kn2+9^n.2$
$\text{Xét 4≡1(mod3)}$
$\text{⇒$4^{n}$ ≡1(mod3)}$
$\text{⇒$4^{n}$ .2≡2(mod3)}$
⇒$4^{n}$ .2 chia 3 dư 2
mà $9^{n}.2$ $\vdots$ 3
⇒$4^kn2+9^n.2$ chia 3 dư 2
⇒không thể là số chính phương( vì số chính phương chia 3 dư 0 ;1)
Với K chẵn thì k có dạng là $2n$
$2^k+3^k$⇔$2^{2n}$ +$3^{2n}$ =$4^n+9^n$
Th1 với n=0 thì $4^n+9^n$ là số chính phương
Th2 với n chẵn thì
$4^n$ có tận cùng là 6
$9^n$ có tận cùng là 1
$4^n+9^n$ có tận cùng là 7 nên ko là số chính phương
TH3 với n lẻ thì
$4^n$ có tận cùng là 4
$9^n$ có tận cùng là 8
$4^n+9^n$ có tận cùng là 2 nên ko là số chính phương
⇒$2^k+3^k$ không là số chính phương
