Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
- Với n = 1, ta có
$7.5^{2.1} + 12.6^1 = 7.25 + 12.6 = 247 = 19.13$
Vậy khẳng định đúng với n = 1.
- Giả sử khẳng định đúng đến k = n. Ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với k = n+1. Thật vậy, ta xét
$7.5^{2(n+1)} + 12.6^{n+1} = 7.5^{2n+2} + 12.6^n.6$
$= 7.5^{2n} . 25 + 12.6^n . 6$
$= 19.7.5^{2n} + 6.7.5^{2n} + 12.6^n.6$
$= 19(7.5^{2n}) + 6(7.5^{2n} + 12.6^n)$
Ta có $19(7.5^{2n})$ chia hết cho 9.
MẶt khác, theo giả thiết quy nạp ta có $7.5^{2n} + 12.6^n$ chia hết cho 19 nên $6(7.5^{2n} + 12.6^n)$ cũng chia hết cho 19.
Vậy $7.5^{2(n+1)} + 12.6^{n+1}$ cũng chia hết cho 19. Vậy khẳng định đúng với $k = n+1$.
Hoàn thành bước quy nạp và khẳng định được chứng minh.
