Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $n$.
Với $n = 1$, ta có
$2 = \dfrac{1(3.1+1)}{2}$
Vậy đẳng thức đúng vs 1.
Giả sử đẳng thức đúng vs $k = n$. Ta sẽ cminh nó đúng với $k+1 = n +1$. Vậy ta cần cminh
$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = \dfrac{(n+1)[3(n+1)+1]}{2} = \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$
THật vậy, ta có
$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = [2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1)] + (3n + 2)$
Theo giả thiết quy nạp ta có
$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) = \dfrac{n(3n+1)}{2}$
THay vào ta có
$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = \dfrac{n(3n+1)}{2} + (3n+2)$
$= \dfrac{3n^2 + n + 6n + 4}{2}$
$= \dfrac{3n^2 + 7n + 4}{2}$
$= \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$
Vậy
$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1]= \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$
Vậy đẳng thức đúng vs $k = n+1$
Vậy ta có đpcm.
