A=$\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + ....+ $\frac{1}{9^{2}}$
+) ta có:$\frac{1}{2^{2}}$ = $\frac{1}{2.2}$ > $\frac{1}{2.3}$
$\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{3.3}$ > $\frac{1}{3.4}$
. . . . . . . . . . . . . . . . .
$\frac{1}{9^{2}}$ =$\frac{1}{9.9}$ > $\frac{1}{9.10}$
Nên:A>$\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ + . . . . . +$\frac{1}{9.10}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{10}$ =$\frac{2}{5}$ (1)
+)Ta có:$\frac{1}{2^{2}}$ = $\frac{1}{2.2}$ < $\frac{1}{1.2}$
$\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{3.3}$ < $\frac{1}{2.3}$
. . . . . . . . . . . . . . . . .
$\frac{1}{9^{2}}$ =$\frac{1}{9.9}$ < $\frac{1}{8.9}$
Nên:A < $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + . . . . . +$\frac{1}{8.9}$=1-$\frac{1}{9}$ =$\frac{8}{9}$ (2)
Từ (1) và(2) ⇒ $\frac{2}{5}$ < A < $\frac{8}{9}$
