Giải thích các bước giải:
a.Ta có $CH\perp AB$
$C\in$ đường tròn đường kính $AB\to AC\perp BC$
$\to \widehat{ACH}=90^o-\widehat{HCB}=\widehat{CBH}=\widehat{CBN}$
Mà $AN$ là phân giác $\widehat{BCH}$
$\to \widehat{HCN}=\widehat{BCN}$
$\to \widehat{ACN}=\widehat{ACH}+\widehat{HCN}=\widehat{NBC}+\widehat{NCB}=\widehat{CNA}$
$\to \Delta ACN$ cân tại $A\to AC=NA$
Tương tự $BC=BM$
b.Từ đề bài suy ra:
$\widehat{MCN}=\widehat{MCH}+\widehat{HCN}=\dfrac12\widehat{ACH}+\dfrac12\widehat{HCB}=\dfrac12\widehat{ACB}=45^o=\widehat{JHN}$
$\to CMHJ$ nội tiếp
$\to \widehat{MJC}=\widehat{CHM}=90^o$
$\to MJ\perp CN$
Tương tự $NI\perp CM$
$\to \widehat{MIN}=\widehat{MJN}=90^o$
$\to MNJI$ nội tiếp
Lại có $MJ\perp NC, NI\perp CM, CH\perp MN$
$\to MJ, NI, CH$ đồng quy
c.Ta có:
$MH\cdot MN=MI\cdot MC$
$\to MN=\dfrac{MI\cdot MC}{MH}$
$AM=AC, CM=CB$
$\to MN=AN=AM=AC-AM=BM-BN=BC-BN$
$\to 2MN=AC-AM+BC-BN=AC+BC-(AM+BN)$
$\to 2MN=(AC+BC-(AB-MN))$
$\to 2MN=AC+BC-AB+MN$
$\to MN=AC+BC-2R$
$\to MN\le \sqrt{2(AC^2+BC^2)}-2R$
$\to MN\le \sqrt{2AB^2}-2R$
$\to MN\le \sqrt{2(2R)^2}-2R$
$\to MN\le 2R(\sqrt{2}-1)$
Dấu = xảy ra khi $CA=CB\to C$ nằm giữa cung $AB$
$\to S_{CMN}=\dfrac12CH\cdot MN$
$\to S_{CMN}\le \dfrac12CO\cdot 2R(\sqrt{2}-1)$
$\to S_{CMN}\le \dfrac12R\cdot 2R(\sqrt{2}-1)$
$\to S_{CMN}\le R^2(\sqrt{2}-1)$
Dấu = xảy ra khi $C$ nằm giữa cung $AB$
