Đáp án + giải thích các bước giải:
Đặt `(\sqrt{x^2+y^2};\sqrt{y^2+z^2};\sqrt{z^2+x^2})=(a;b;c)`
`->(x^2;y^2;z^2)=((a^2+c^2-b^2)/2;(a^2+b^2-c^2)/2;(b^2+c^2-a^2)/2)`
Đặt `P=x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)`
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
`y+z<=\sqrt{2(y^2+z^2)}`
`->x^2/(y+z)>=x^2/\sqrt{2(y^2+z^2)}`
Tương tự, có:
`P>=x^2/\sqrt{2(y^2+z^2)}+y^2/\sqrt{2(z^2+x^2)}+z^2/\sqrt{2(x^2+y^2)}`
`= (a^2+c^2-b^2)/(2\sqrt{2}b)+(a^2+b^2-c^2)/(2\sqrt{2}c)+(b^2+c^2-a^2)/(2\sqrt{2}a)`
`=1/(2\sqrt{2}) (a^2/b+c^2/b-b+a^2/c+b^2/c-c+b^2/a+c^2/a-a)`
`=1/(2\sqrt{2}) (a^2/b+c^2/b+a^2/c+b^2/c+b^2/a+c^2/a-a-b-c)`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`P>=1/(2\sqrt{2}) {[2(a+b+c)]^2/(2(a+b+c))-(a+b+c)}`
`=1/(2\sqrt{2}) (a+b+c)`
`=\sqrt{3}/(2\sqrt{2})`
`=\sqrt{6}/4`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=\sqrt{6}/6`
