Đáp án:
Sửa đề: `>=5` thành `>5` Chứng minh :
`(9x^2+23x+54)/(x^2+x+1)>5`
`<=>(9x^2+23x+54)/(x^2+x+1)-5>0`
`<=>(9x^2+23x+54)/(x^2+x+1)-(5.(x^2+x+1))/(x^2+x+1)>0`
`<=>(9x^2+23x+54-5x^2-5x-5)/(x^2+x+1)>0`
`<=>(4x^2+18x+49)/(x^2+x+1)>0`
Vì: `x^2+x+1=x^2+2 . 1/2 .x +(1/2)^2 +3/4 `
`=(x+1/2)^2+3/4≥3/4 >0∀x`
`4x^2+18x+49=(2x)^2+2.2x. 9/2 + (9/2)^2+115/4 `
`=(2x+9/2)^2 +115/4 ≥ 115/4 >0∀x`
Vì Tử và mẫu đều lớn hơn `0`
`->(4x^2+18x+49)/(x^2+x+1)>0 (\text( luôn đúng))`
`->(9x^2+23x+54)/(x^2+x+1)>5∀x` ( đpcm)
Vậy `(9x^2+23x+54)/(x^2+x+1)>5∀x`
