Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức `a^2/x + b^2/y \ge {(a+b)^2}/{x+y} (x,y>0)` `(1)`
`<=> {a^2y +b^2x}/{xy} \ge {(a+b)^2}/{x+y}`
`<=> (a^2y+b^2x)(x+y) \ge (a+b)^2xy`
`<=> a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge (a^2+2ab+b^2)xy`
`<=> a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge a^2xy + 2abxy+b^2xy`
`<=> a^2y^2 - 2ay . bx + b^2x^2\ge0`
`<=> (ay-bx)^2\ge0` (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi `ay=bx <=> a/x = b/y`
Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số `{(a+b)^2}/{x+y}` và `{c^2}/{z}` ta được:
`{(a+b)^2}/{x+y}+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` `=>a^2/x + b^2/y+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}`
Dấu "=" xảy ra khi `a/x = b/y =c/z.`
Áp dụng bất đẳng thức `a^2/x + b^2/y+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}` cho ba số `1/a , 1/b , 1/c` không âm ta được:
`1/a +1/b +1/c \ge {(1+1+1)^2}/{a+b+c}=9/{a+b+c}`
Dấu "=" xảy ra khi `1/a = 1/b =1/c<=>a=b=c>0.`
