`a)` `AM;BN` là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$
`=>\hat{HMC}=\hat{HNC}=90°`
`=>\hat{HMC}+\hat{HNC}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{HMC};\hat{HNC}` ở vị trí đối nhau
`=>CMHN` nội tiếp
$\\$
`b)` Xét $∆BNC$ và $∆ANH$ có:
`\qquad \hat{BNC}=\hat{ANH}=90°`
`\qquad \hat{NBC}=\hat{NAH}` (cùng phụ `\hat{ACM}`)
`=>∆BNC∽∆ANH` (g-g)
`=>{NB}/{NA}={NC}/{NH}`
`=>NA.NC=NH.NB`
$\\$
`c)` $∆BNC$ vuông tại $N$
`=>\hat{NBC}+\hat{NCB}=90°`(hai góc phụ nhau)
`=>\hat{HBC}+\hat{ACM}=90°`
$\\$
$\quad ∆AMC$ vuông tại $M$
`=>\hat{CAM}+\hat{ACM}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{HBC}=\hat{CAM}`
`=>\hat{HBC}=\hat{FAH}` $(1)$
$\\$
Vì $A;F\in (H;AH)$
`=>AH=FH`
`=>∆AHF` cân tại $H$
`=>\hat{AFH}=\hat{FAH}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{AFH}=\hat{HBC}`
`=>BHFC` nội tiếp (vì có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`d)` $H$ là giao điểm hai đường cao của $∆ABC$
`=>H` là trực tâm $∆ABC$
`=>CH`$\perp AB$
`=>\hat{EAF}+\hat{ACH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ACH}=90°-\hat{EAF}`
$\\$
`\qquad \hat{EHF}=sđ\stackrel\frown{E F}` (góc ở tâm chắn cung $E F$)
`\qquad \hat{EAF}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{E F}` (góc nội tiếp chắn cung $E F$)
`=>\hat{EAF}=1/ 2 \hat{EHF}`
Vì `E;F\in (H;AH)`
`=>EH=FH`
`=>∆HEF` cân tại $H$
`=>\hat{HEF}={180°-\hat{EHF}}/2=90°-1/ 2 \hat{EHF}=90°-\hat{EAF}=\hat{ACH}`
`=>\hat{HE F}=\hat{HCF}`
`=>HFCE` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $E;C$ cùng nhìn cạnh $HF$ dưới hai góc bằng nhau)
Mà $BHFC$ nội tiếp
`=>E;B;H;F;C` cùng thuộc $1$ đường tròn $(3)$
$\\$
Vì `EK;FK` lần lượt là hai tiếp tuyến tại $E;F$ của $(H;AH)$
`=>\hat{HEK}+\hat{HFK}=90°+90°=180°`
`=>EHFK` nội tiếp $(4)$
Từ `(3);(4)=>E;B;H;F;C;K` cùng thuộc $1$ đường tròn $(5)$
`=>HFCK` nội tiếp
`=>\hat{HCK}=\hat{HFK}=90°` (cùng chắn cung $HK$)
`=>CH`$\perp CK$
Mà $CH\perp AB$ (đã c/m)
`=>AB`//$CK$ $(6)$
$\\$
Từ `(5)=>HBEK` nội tiếp
`=>\hat{HBK}=\hat{HEK}=90°` (cùng chắn cung $HK$)
`=>BH`$\perp BK$
Mà $BH\perp AC$ (gt)
`=>AC`//$BK$ $(7)$
Từ `(6);(7)=>ABKC` là hình bình hành
`=>AK; BC` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Vậy `AK` đi qua trung điểm $BC$
