Đáp án + giải thích các bước giải:
1/ `1/2 =x/(2x)=(x-1+1)/(2x)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`(x-1)+1>=2\sqrt{(x-1).1}=2\sqrt{x-1}`
`-> (x-1+1)/(2x)>=(2\sqrt{x-1})/(2x)=\sqrt{x-1}/x`
Dấu bằng xảy ra khi `x=2`
2/ `c∈ZZ^{+}`
`->c>0`
`->a+b<a+b+c`
`->a/(a+b)>a/(a+b+c)`
3/
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a+b>=2\sqrt{ab}`
`1/a+1/b>=2\sqrt{1/(ab)}`
`->(a+b)(1/a+1/b)>=2\sqrt{ab} . 2\sqrt{1/(ab)}=4`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a+b+c>=3\root{3}{abc}`
`1/a+1/b+1/c>=3\root{1/(abc}}`
`->(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3\root{3}{abc}.3\root{3}{1/(abc)}=9`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b`
4/
Ta có: `(a-b)^2>=0`
`->a^2-2ab+b^2>=0`
`->a^2+b^2>=2ab`
`->a^2+2ab+b^2>=4ab`
`->(a+b)^2>=4ab`
`->a+b>=(4ab)/(a+b)`
`->(a+b)/2>=(2ab)/(a+b) `
Lại có: `(a+b)^2>=4ab`
`->4/(a+b)^2<=4/(4ab)=1/(ab) `
Dấu bằng xảy ra khi `a=b`
5/ Ta có: `(a-b)^2>=0`
`->a^2+b^2-2ab>=0`
`->a^2+b^2>=2ab`
`->2(a^2+b^2)>=a^2+2ab+b^2`
`->2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
`->(a^2+b^2)/2>=(a+b)^2/4`
`->(a^2+b^2)/2>=((a+b)/2)^2`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b`
Với `a<0`, bất đẳng thức `a/(1+a^2)<=1/2` luôn đúng
Với `a>=0`, áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a^2+1>=+2\sqrt{a^2 .1}=2a`
`->a/(a^2+1)<=a/(2a)=1/2`
Dấu bằng xảy ra khi `a=1`
