$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3²}+...+\frac{1}{2009²}$
$⇔ A< \frac{2}{1.3}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2008.2009}$
$⇔ A< 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009}$
$⇔ A< 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2009}≈0,83<1$
⇒ $A<1$