Tham khảo
`S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+....+\frac{n^2-1}{n^2}`
`⇒S=(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{9})+...+(1-\frac{1}{n^2})`
`⇒S=(1+1+...+1)-(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+....+\frac{1}{n^2})`
`⇒S=(1+1+...+1)-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2})`
Để `S` không phải số nguyên
`⇔\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}` không phải số nguyên
Đặt ` A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}`
Xét `A`
`⇒A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}`
Vì `n>2⇒\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(1)`
Xét `A`
`⇒A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}`
`⇒A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}`
`⇒A<1-\frac{1}{n}`
Vì `n>2⇒\frac{1}{n}<\frac{1}{2}`
`⇒A<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2)`
Từ `(1)(2)⇒\frac{1}{6}<A<\frac{1}{2}`
`⇒A` không phải số nguyên
`⇒S` không phải số nguyên
